Restricciones holonómicas y grados de libertad

Christian Schnorr 02/08/2017. 1 answers, 160 views
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Wikipedia y otras fuentes definen las restricciones holonómicas como una función

$$ f (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N, t) \ equiv 0, $$

y dice que el número de grados de libertad en un sistema se reduce por el número de restricciones holonómicas independientes.

Podría tomar múltiples restricciones $ f_1, \ ldots, f_m $ y formularlas como una sola que se cumple si y solo si se cumplen todos los $ f_i $:

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} {\ lvert f_i \ rvert}. $$

Este $ f $ combinado obviamente reduciría la cantidad de grados de libertad en $ m $ en lugar de $ 1 $.

Alternativamente, para evitar el valor absoluto, podría usar una suma de cuadrados

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} f_i ^ 2 $$

en lugar. ¿Dónde está mi error de razonamiento?

1 Answers


Qmechanic 04/13/2017.

Bueno, en la definición de restricciones holonómicas $ f_1, \ ldots, f_m $, también hay dos condiciones técnicas de regularidad (que los contraejemplos de OP no cumplen):

  1. Las funciones $ f_1, \ ldots, f_m, $ deben ser continuamente diferenciables con $ m \ leq 3N $.

  2. La matriz jacobiana $ m \ times 3N $ rectangular $$ \ frac {\ partial (f_1, \ ldots, f_m)} {\ partial (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N)} $$ debería tener rango $ m $.

Las condiciones de regularidad 1 y 2 se imponen para garantizar la existencia local de coordenadas generalizadas $ q_1, \ ldots, q_n $, en algún vecindario abierto, donde $ n: = 3N-m $, a través del teorema de la función inversa .

Ver también esta publicación Phys.SE relacionada.

Referencias

  1. M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994; Subsección 1.1.2, p. 7.

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