Intuición sobre la construcción GNS y cómo se relaciona con la mecánica cuántica habitual

user1620696 06/13/2017. 3 answers, 274 views
quantum-mechanics mathematical-physics operators hilbert-space definition

Al leer un artículo, la construcción de GNS se menciona de la siguiente manera:

Es importante recordar que un resultado (teorema) debido a Gel'fand, Naimark y Segal (GNS) establece que para cualquier $ \ omega $ en $ \ mathcal {A} $ siempre existe una representación $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ de $ \ mathcal {A} $ y $ \ Phi_ \ omega \ in \ mathfrak {h} _ \ omega $ (generalmente llamado un cyclic vector ) tal que $ f_ \ omega (\ mathcal {A}) \ Phi_ \ omega $ es denso en $ \ mathfrak {h} _ \ omega $ y $ \ omega (A) = \ langle \ Phi_ \ omega | f _ {\ omega} (\ mathcal {A}) | \ Phi_ \ omega \ rangle $. Además, el resultado de GNS garantiza que hasta una equivalencia unitaria, $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ es la única representación cíclica de $ \ mathcal {A} $.

Ahora, considerando las matemáticas, hay un teorema y una prueba correspondiente. Mi punto aquí es no discutir esto. Mi punto aquí es discutir la intuición sobre esta construcción desde el punto de vista de la física.

Entonces, lo primero que me confunde: en el enfoque $ C ^ \ ast $ -algebra, pensé que cada estado $ \ omega: \ mathcal {A} \ a \ mathbb {R} $ era la contraparte de un ket $ | \ phi \ rangle $ en el enfoque tradicional.

Vemos en la construcción de GNS, sin embargo, que cada estado $ \ omega $ induce una representación . En otras palabras, en lugar de tener por cada $ \ omega $ one ket, tenemos por cada $ \ omega $ un espacio entero de Hilbert.

Más que eso, tenemos esa condición de vector cíclico, que físicamente no entiendo.

Entonces mi pregunta es: ¿cuál es la intuición sobre la construcción de GNS desde el punto de vista de la física? ¿Cómo se relacionan los estados $ \ omega $ del enfoque algebraico con kets $ | \ psi \ rangle $ (vectores de estado) en el enfoque tradicional? ¿Cuál es la condición del vector cíclico desde una perspectiva física?

3 Answers


Slereah 06/13/2017.

La idea básica de la construcción de GNS es que use un solo estado (a menudo será el vacío, si estamos trabajando en un espacio plano) para recrear todo el espacio de Hilbert. Esto está de hecho relacionado con la ciclicidad: el conjunto de todos los vectores generados por la acción del álgebra en el vacío es denso en el espacio resultante de Hilbert. Entonces, para generar el espacio completo de Hilbert, simplemente aplique cada miembro del álgebra $ C ^ * $ para generar un subconjunto denso del espacio de Hilbert, luego haga la finalización de Cauchy para generar el espacio completo de Hilbert.

Una forma simple de recuperar la representación habitual como espacio de Hilbert es considerar el producto de tres miembros del álgebra, luego su representación $ \ pi $ a medida que los operadores espaciales de Hilbert se vuelven

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ omega, \ pi (ABC) \ omega \ rangle $$

A continuación, puede definir los estados $ \ vert \ psi \ rangle = \ pi (C) \ vert \ omega \ rangle $ y $ \ vert \ phi \ rangle = \ pi (A) \ vert \ omega \ rangle $, luego su estado se convierte

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ phi, \ pi (B) \ psi \ rangle $$

Esto se convierte entonces en la transición habitual entre dos estados.

Un ejemplo simple de esto sería, por ejemplo, considerar los operadores de creación y aniquilación en el vacío. Forman un álgebra de $ C ^ * $ y pueden actuar sobre el estado de vacío para crear cualquier cantidad de estados que formen un espacio de Hilbert. Por otro lado, ninguna cantidad de aplicación de operadores de creación en el vacío le dará el estado definido por el estado de Fock

$$ \ vert 1,1,1,1,1, .... \ rangle $$

Si hubiéramos usado este estado como el $ \ omega $ básico, tendríamos una teoría unitariamente inequivalente.


ACuriousMind 06/13/2017.

En orden inverso:

  1. La ciclicidad debe considerarse como un tipo de condición de irreductibilidad. Observe que cada vector de una representación irreducible es cíclico, y que, por lo tanto, la existencia de un vector no cíclico indicaría reducibilidad. Por lo tanto, la ciclicidad tiene poca importancia más allá de la idea habitual de estudiar todas las representaciones irreducibles, ya que contienen toda la información relevante sobre el álgebra. Un aspecto que puede valer la pena mencionar es que la ciclicidad exigente hace que la construcción de GNS sea unique : puede haber muchos espacios en los que un estado abstracto dado esté representado por un vector, pero todas las representaciones en las que es cíclico son unitariamente isomórficas.

  2. La relación entre estados y vectores es la siguiente: en una dirección, de vectores a estados, tenemos que para cada representación $ \ rho: \ mathcal {A} \ a \ mathrm {B} (H) $ en un espacio de Hilbert $ H $ con operadores acotados $ \ mathrm {B} (H) $ y cada vector $ v \ en H $, el mapa $ \ mathcal {A} \ a \ mathbb {C}, A \ mapsto \ langle v \ vert \ rho (A) \ vert v \ rangle $ es un estado en el sentido abstracto. Por el contrario, es precisamente el punto de la construcción de GNS que para cada estado abstracto uno puede encontrar un espacio de Hilbert tal que el estado esté dado por un vector en ese espacio en ese sentido.

  3. No veo nada de intérprete al respecto (y estoy un poco desconcertado sobre qué tipo de intuición esperas para abstract $ C ^ \ ast $ -algebras), pero físicamente, la construcción GNS nos asegura que el resumen $ C ^ \ ast $ -algebraic la perspectiva y el enfoque tradicional que comienza con un álgebra de observables en un espacio de Hilbert son equivalentes: la suma directa sobre todas las representaciones GNS asociadas a estados (puros) del álgebra $ \ mathcal {A} $ es fiel y una isometría, que es decir, el álgebra abstracta es isométricamente isomorfa al álgebra de operadores acotados en ese espacio de Hilbert. Por lo tanto, no hace no difference in the outcomes si tomamos el punto de vista "abstracto" o "concreto". Este es el contenido del teorema de Gel'fand-Naimark .


user154997 06/13/2017.

Como físico, entiendo GNS como sigue.

version corta

Dados los valores observables, las expectativas y las simetrías, podemos reconstruir la QM habitual con su espacio de Hilbert, su definición de valores de expectativa como "sándwiches" y su representación unitaria habitual de simetrías.

versión más formal

Nos damos

  • un álgebra $ \ mathcal {A} $ estable bajo $ A \ mapsto A ^ * $: esos deben identificarse con nuestros operadores;
  • una función $ \ omega $ asociando un número complejo a cada elemento de ese álgebra: esos serán los valores de expectativa de los operadores;
  • un grupo de simetría $ G $ actuando en ese álgebra tal que
    • cualquier simetría $ s $ satisface $ s (AB) = s (A) s (B) $,
    • y deja $ \ omega $ invariante: $ \ omega (s (A)) = \ omega (A) $.

Entonces GNS construye:

  • un espacio de Hilbert $ \ mathcal {H} $,
  • un vector de vacío $ \ mid 0 \ rangle $,
  • una representación $ \ phi $ del álgebra $ \ mathcal {A} $, es decir, una asignación de $ \ mathcal {A} $ a $ \ mathcal {H} $ tal que $ \ phi (AB) = \ phi (A) \ phi (B) $, que además tiene la propiedad de que la expectativa de cualquier elemento $ A \ in \ mathcal {A} $ es la expectativa cuántica de $ \ phi (A) $: $$ \ omega (A) = \ langle 0 \ mid \ phi (A) \ mid 0 \ rangle $$
  • una reprentación unitaria del grupo de simetría que trae la simetría en el espacio de Hilbert, es decir, a cada $ s \ en G $ se asocia un operador unitario $ U_s $ en el espacio de Hilbert, tal que $$ \ phi (s (A)) = U_s \ phi (A) U_s ^ * $$

ciclicidad del vacío

La versión corta es que al aplicar todas las representaciones del operador al vacío, obtenemos casi todos los elementos de $ \ mathcal {H} $. La versión rigurosa es que $ \ left \ {\ phi (A) \ mid \! 0 \ rangle \ mid A \ in \ mathcal {A} \ right \} $ es denso en $ \ mathcal {H} $.

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