Definición de impulso conjugado en QFT

Piotr 05/28/2017. 2 answers, 372 views
quantum-field-theory momentum definition

Las notas de mi clase definen el momento conjugado de un campo escalar a través de:

$$ \ pi = \ dot {\ psi} $$

Dónde

$$ \ psi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ frac {1} {\ sqrt {2E_p}} \ left (a_p e ^ {i \ vec {p} \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

y afirman que esto da

$$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ left (a_p e ^ {i \ vec p \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

mientras trabajaba en la imagen de Schodinger. Pero claramente $ \ psi $ ni siquiera depende del tiempo. Estoy en lo cierto al pensar que lo que se dice en mis notas de clase es incorrecto y la definición

$$ \ pi = \ dot {\ psi} $$

¿Es válido solo en la imagen de Heisenberg? Y para obtener las expresiones anteriores, que están en la imagen de Schrodinger, es necesario tomar las expresiones de imagen de Heisenberg:

$$ \ psi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ frac {1} {\ sqrt {2E_p}} \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

$$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

(donde ahora usé la notación de 4 vectores) y luego convertirlos en una imagen de Schrodinger?

2 Answers


user1620696 05/28/2017.

Primero olvida QFT por un tiempo y piensa en la Teoría clásica de campos. Considera el campo de Klein-Gordon con más precisión. Su Lagrangian es

$$ \ mathcal {L} (\ phi, \ partial_ \ mu \ phi) = \ dfrac {1} {2} \ partial ^ \ mu \ partial_ \ mu \ phi- \ dfrac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 $$

En este Lagrangian, la variable es $ \ phi $. Ahora, dado que $ \ phi $ es una función definida en el espacio-tiempo, $ \ phi $ depende del tiempo en particular y puede calcularse en un marco de referencia $ \ dot {\ phi} = \ partial_0 \ phi $.

Luego se defines el momento conjugado, como en Mecánica clásica, para ser

$$ \ pi = \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_0 \ phi)}. $$

Para este campo, ¿qué obtenemos? Si trabajas esto, encontrarás $ \ pi = \ dot {\ phi} $.

Esto es todo clásico. Luego con esto en las manos puedes cuantizar.

Después de todo, cuantificar el campo significa que quieres convertir $ \ phi, \ pi $ en operadores que obedecen

$$ [\ phi (x), \ phi (y)] = [\ pi (x), \ pi (y)] = 0 $$

$$ [\ phi (x), \ pi (y)] = i \ delta (xy). $$

Por lo tanto, ya necesita $ \ pi $ para hablar de cuantización. Al igual que en la Mecánica Cuántica, necesita tanto posición como impulso para imponer las relaciones de conmutación canónicas.

Por cierto, hay un pequeño detalle. Las relaciones de conmutación se toman a tiempos iguales. En ese caso, se encuentran entre los operadores de imagen de Schrodinger $ \ phi (\ mathbf {x}), \ pi (\ mathbf {y}) $, ya que están definidos en la misma hora inicial.

Entonces, si quiere calcular $ \ pi $ de $ \ phi $, puede hacerlo de forma clásica y luego imponer las relaciones de conmutación canónicas, o puede hacerlo en la imagen de Heisenberg y obtendrá los mismos resultados.

Edit: la descomposición de modo se puede lograr en la Teoría de campo clásica, lo único es que los coeficientes serán números. La ecuación del movimiento es

$$ (\ Box + m ^ 2) \ phi = 0 $$

Tome la transformada de Fourier en la variable espacial para que denote la transformada de Fourier por $ \ hat {\ phi} $ que tiene

$$ \ partial ^ 2_t \ hat {\ phi} + (| \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2) \ hat {\ phi} = 0 $$

define $ \ omega_ {p} ^ 2 = | \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2 $ y $ p = (\ omega_p, \ mathbf {p}) $. La ecuación está parametrizada por $ \ mathbf {p} $ y se puede resolver fácilmente para dar

$$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_p e ^ {- i \ omega_p t} + b_p e ^ {i \ omega_p t} $$

ahora aplica la condición de realidad de la transformada de Fourier

$$ \ hat {\ phi} (- \ mathbf {p}, t) = \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) ^ \ ast. $$

Llegas a la condición

$$ a _ {- \ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega_p t} + b _ {- \ mathbf {p}} e ^ {i \ omega_p t} = a _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} + b _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast e ^ {- i \ omega_p t} $$

la independencia lineal de las exponenciales luego da $ a _ {- \ mathbf {p}} = b _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast $ y $ b _ {- \ mathbf {p}} = a _ {\ mathbf {p} } ^ \ ast $. Ahora tu tienes

$$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_pe ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} $$

ahora aplica la inversión de Fourier para obtener

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ { i \ omega_p t}) e ^ {i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} $$

si cambia las variables en el segundo término haciendo $ p \ a -p $ desde $ \ omega _ {- p} = \ omega_p $ obtendrá la fórmula

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- ipx} + a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

El $ \ sqrt {2 \ omega_p} $ se incluye luego por conveniencia para obtener un resultado invariante de Lorentz (equivale a una redefinición de $ a_p $). La respuesta final es

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ omega_p}} (a_p e ^ {- ipx} + a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

Por favor, comprenda que esto no derive la representación del espacio de Fock. Este es solo un cálculo clásico que a su vez motivates la descomposición del modo en términos de los operadores de escalera espacial de Fock.

Por cierto, hay un enfoque más limpio y más elegante con la transformada de Fourier del espacio-tiempo que se puede encontrar en la pregunta Una pregunta sobre el uso de la descomposición de Fourier para resolver la ecuación de Klein Gordon .


Y2H 05/28/2017.

Creo que sé cuál es tu problema. Se está olvidando que la dependencia del tiempo puede ser implícita y no tiene que ser solo explícita. Por ejemplo, $ \ psi $ puede depender del tiempo porque $ x $ y / o $ p $ dependen del tiempo. En este caso, la derivada no será cero.

Además, la definición debe ser válida en ambas imágenes, ya que derivar una función con respecto al tiempo es la misma en la representación de la matriz que derivar al operador con respecto al tiempo.

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