¿Cuál es la definición precisa de "presión sobre un punto"?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

Estoy leyendo Mecánica de fluidos de Landau y en la primera página se define la presión en cada punto y cada vez: $ p = p (x, y, z, t) $. Aquí cada "punto" $ (x, y, z) $ es realmente un pequeño volumen diferencial $ dV $, por ejemplo, una pequeña caja rectangular de dimensiones $ dx $, $ dy $, $ dz $ ($ dV = dx dy dz $) , que contiene muchas partículas

Esta presión $ p $, como función, tiene la propiedad de que $ \ oint_S p \ dS $ es la fuerza exterior total sobre cualquier superficie $ S $, esto sugiere que la presión se define como la fuerza exterior total sobre la superficie de un pequeño volumen dV dividió el valor de su superficie. Por ejemplo, si aplicamos fuerzas a cada cara de una caja de dimensiones $ a, b, c $:

pequeña caja y fuerzas

Entonces la presión sobre este cuadro es: \ begin {ecuación} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z-} } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {ecuación}

Ahora, por ejemplo, si tengo una caja grande de dimensiones $ L $, $ 2L $, $ 2L $, y sobre esta casilla están las fuerzas exteriores $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $ que intentan comprimir esta caja, y la caja no se mueve, entonces la fuerza exterior total aplicada a la caja es de $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Supongamos que las fuerzas están distribuidas uniformemente sobre las caras.

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Ahora calculemos la integral de la presión sobre la superficie de esta caja (debe ser $ 2 (F_x + F_y + F_z) $). Para hacer esto, podemos dividir la caja en pequeños cubos de volumen $ L ^ 3 / n ^ 3 $. La fuerza sobre cada una de las dos caras ortogonales al eje $ x $ es $ F_x / 4n ^ 2 $, y la fuerza sobre las caras ortogonales al eje $ y $ es $ F_y / 2n ^ 2 $, de manera similar la fuerza sobre el caras ortogonales al eje $ z $ es $ F_z / 2n ^ 2 $.

Entonces, la presión sobre cada cubo minúsculo de volumen $ L ^ 3 / n ^ 3 $ es: \ begin {ecuación} p_0 = \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ end {ecuación}

Ignorando los bordes y vértices, podemos estimar la superficie de presión integral tomando la cantidad total de pequeños cubos en la superficie pero los bordes, y multiplicándolo por $ p_0 $. Hay $ (2n-2) ^ 2 $ tales cubos en las dos caras con superficie $ 4L ^ 2 $, y $ (2n-2) (n-2) $ en cada una de las cuatro caras restantes de la superficie $ 2L ^ 2 $. Deje $ S $ ser la superficie de la caja grande. Deje $ \ Delta S $ sea la superficie de un pequeño cubo ($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $).

\ begin {ecuación} \ oint_S p \ dS \ approx \ left (2 (n-2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ right) p_0 \ Delta S = \ left (2 (n- 2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ derecha) \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ frac {L ^ 2} {n ^ 2} = \ frac {4} {3} \ frac {3n ^ 2- 8n + 5} {n ^ 2} \ left (\ frac {F_x} {4} + \ frac {F_y} {2} + \ frac {F_z} {2} \ right) \ end {ecuación}

Tomando el límite como $ n \ rightarrow \ infty $, y considerando que los bordes son insignificantes para la integración de la superficie:

\ begin {ecuación} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {ecuación}

Pero esto no puede ser correcto, porque la fuerza sobre la superficie es de $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Realmente no entiendo lo que está mal. ¿Es la definición de presión? ¿O es la integración?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

En el libro se afirma que la cantidad $ - \ oint p \ mathrm d \ mathbf f $ es la fuerza total. Si observa el $ $ mathrm d \ mathbf f $ en negrita, puede ver que es un vector y, esencialmente, significa que la integral se hace componente por componente, por lo que sus cálculos no se aplican. Entonces, por ejemplo: $$ \ int p_ {x +} dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ {x +} \ int \ frac {dS} {bc} = F_ {x +} $ $ y de manera similar para los otros componentes. En este ejemplo, dS no es un vector. Como puede ver, siempre recupera el componente original.

En cuanto a la definición precisa, es la constante de proporcionalidad entre los vectores $ \ mathrm d \ mathbf F_n $, el componente normal de $ \ mathrm d \ mathbf F $ en la superficie, y $ \ mathrm d \ mathbf S $. Tenga en cuenta que se define infinitesimalmente ya que estos vectores generalmente son funciones de la posición.


Farcher 01/03/2017.

Sus problemas comienzan cuando comienza a tratar las fuerzas y las áreas como escalares.

Entonces la presión sobre esta caja es:

\ begin {ecuación} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z -}} {2ab + 2bc + 2ca} \ end {ecuación}

Es incorrecto.

Necesitas usar la forma vectorial de la ecuación que te da la fuerza en un área como se describe en el artículo de Wikipedia sobre Presión .

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