Presión en el tensor de estrés?

Quantum spaghettification 10/15/2016. 2 answers, 527 views
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El tensor de tensión se puede escribir como: $$ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} + \ sigma '_ {ij} \ label {1} ​​\ tag {1} $$ donde $ \ sigma_ {ij} '$ se llama tensor de estrés adicional.

Por lo que entiendo la presión es la presión es la fuerza por unidad de área, por lo que la fuerza que actúa en la superficie $ d \ vec A $ está dada por: $$ \ vec F = -pd \ vec A \ label {2} \ tag { 2} $$ (Esto tiene el efecto de que la fuerza en una superficie infinitesimalmente delgada debido a una presión continua es cero). Sin embargo, $ \ sigma_ {ij} $ representa la fuerza en la dirección $ i $ en una superficie con normal en la dirección $ \ hat e_j $. Entonces, la fuerza que actúa sobre una superficie $ d \ vec A $ debe ser: $$ F_i = \ sigma_ {ij} dA_j \ label {3} \ tag {3} $$ Las ecuaciones (2) y (3) claramente no concuerdan (incluso si miramos a la fuerza en la dirección $ d \ vec A $ no están de acuerdo). Entonces mi pregunta es cuál es el significado exacto de la presión en la expresión (1) y por qué no tenemos: $$ \ sigma_ {ii} = - p $$

2 Answers


Sanya 10/15/2016.

Dentro del marco habitual de la mecánica del continuo, se supone que existen dos tipos de fuerzas: las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de la superficie. Se puede demostrar que este último es representable mediante un tensor $ \ textbf {T} $, el tensor de tensión de Cauchy. Este tensor cede el estrés local en una superficie de la siguiente manera: $$ \ vec F = \ textbf {T} d \ vec A $$ Podemos descomponer el tensor de tensión de Cauchy en la contribución de la presión isotrópica y la contribución al estrés (que necesitamos constitutivo ecuaciones para): $$ \ textbf {T} = \ tau -p \ textbf {1} $$ Entonces su ecuación (3) es correcta. Su ecuación (2) le da una contribución a la fuerza en la superficie pero no a la fuerza total.


Deep 10/15/2016.

En la mecánica de fluidos, el tensor de tensión $ \ sigma_ {ij} $ es la cantidad primaria. La presión se define por medio de la ecuación (1) mencionada en su pregunta. Claramente, $ -p \ equiv \ frac {1} {3} \ sigma_ {ii} $ ($ \ sigma '_ {ij} $ no tiene trazas por definición). En otras palabras, la presión se define como el promedio de las tensiones normales en tres planos ortogonales que pasan por el punto donde se calcula el tensor de tensión. La presión definida de esta manera se conoce como presión mecánica. Cuando se interpreta de esta manera, la ecuación (2) mencionada en su pregunta se vuelve inválida en general. La ecuación (3) mencionada en su pregunta es la fórmula correcta para calcular la fuerza neta sobre el elemento fluido en la dirección $ i $.

Estrictamente hablando, la ecuación (2) mencionada en su pregunta es aplicable solo en estáticas fluidas, porque entonces $ \ sigma '_ {ij} = 0 $, y así $ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} $, lo que significa que el estrés normal es el mismo en todas las direcciones y, por lo tanto, la ecuación (2) se vuelve inequívoca. Sin embargo, las personas equiparan este valor promedio a la presión termodinámica al aplicar las relaciones de la termodinámica de equilibrio a los flujos. Si se hace esta aproximación, entonces dentro de esa aproximación, la ecuación (2) se puede aplicar a los flujos. Por ejemplo, si se infla un globo, el flujo dentro del globo será complicado. Sin embargo, si la temperatura dentro del globo es uniforme, y si es aplicable la ecuación de gas ideal, puede calcular la presión (termodinámica) en la pared interior del globo y simular como si esta también es la presión que aparece en la ecuación de Navier-Stokes (que es la presión definida por la ecuación (1)).

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