Encontrar el límite de un integral: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Supongamos que $ f: [a, b] \ a \ mathbb {R} $ es continuo. Determine si el siguiente límite existe

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Como $ f (x) $ y $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ son continuos, entonces su producto es Riemann integrable. Sin embargo, $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ no existe, por lo que no es uniformemente convergente y no podemos pasar el límite dentro de la integral. Tampoco satisface en las condiciones del Teorema de Dini. No sé cómo hacer un argumento válido para este problema, pero creo que por lo que dije el límite no existe. Agradezco cualquier ayuda.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Lema de Riemann-Lebesgue . Tenga en cuenta que $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Gracias, creo, puedo completarlo ahora
Teepeemm 07/31/2017
Eso parece ser más avanzado de lo que el problema exige.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Una forma ligeramente diferente de resolver esto es usar la siguiente observación.

Proposition. Si $ f: [a, b] \ a \ mathbb {R} $ es continuo, $ g: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R} $ es continuo y $ L $ -periódico, luego

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Asumiendo esta afirmación, la respuesta sigue inmediatamente, ya que $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ es $ 2 \ pi $ -periódico y

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. La intuición es muy clara: si $ n $ es muy grande, entonces en el subintervalo $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subconjunto [a, b] $ tenemos

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ aprox f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Así que ignorando los detalles, tendríamos

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    y tomando el límite como $ n \ a \ infty $, el lado derecho converge al valor deseado. Completar los detalles es bastante rutinario.

  3. La suposición de la continuidad es solo una configuración técnica para la prueba simple, y puede relajarlos en ciertos grados mediante el pago de un mayor esfuerzo.


Michael Hartley 07/31/2017.

No puede concluir $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ no existe solo porque $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n) ) $$ no. Por ejemplo, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ no existe, pero $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ ya que la integral es cero para todos $ n $.

Me temo que mi utilidad se agota en este punto, aunque creo que existe el límite: en caso de que no sea así, debería encontrar algún argumento épsilon-delta que exprese la integral como la suma de un grupo de integrales en intervalos de longitud $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Esta puede ser una muy mala manera de abordar el problema.

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