Funciones que son siempre menores que sus derivados

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Me preguntaba si hay funciones para las cuales $$ f '(x)> f (x) $$ para todos $ x $. Los únicos ejemplos en los que podía pensar eran $ e ^ x - c $ y simplemente $ - c $ en los cuales $ c> 0 $. Además, ¿hay alguna importancia en una función que siempre es menor que su derivada?


Editar: Muchas gracias por todas las respuestas. Parece que casi todas las funciones que se aplican son exponenciales por naturaleza ... ¿Hay más ejemplos como - 1 / x?

Nuevamente, ¿hay alguna aplicación / manifestación física de estas funciones? [por ejemplo, un objeto con una velocidad que siempre es mayor que su posición / aceleración es siempre mayor que su velocidad]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Fuera de mi cabeza, cualquier función limitada y monótonamente creciente en el semiplano inferior.
1 Robin Saunders 07/29/2017
La respuesta de Ixion brinda la solución más completa y general (aunque algunas familias particulares de soluciones podrían escribirse en formas más agradables), y debería ser aceptada.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Pero arregle el título, cambiando "its" a "their". La forma en que se escribe el título, por un momento parecía que estaba considerando derivados de todos los pedidos. Y ahora tengo curiosidad sobre esta pregunta secundaria, ¡jaja!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Si $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, podemos definir $ f (x) = y' (x) -y (x) $ que es positivo para todos $ x $. Supongamos que $ y '(x) $ es una función continua, por lo que $ f (x) $ también es continua. Ahora con este elemento podemos construir la ecuación diferencial $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ y sus soluciones están dadas por: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right) $$

Nuevamente, ¿hay alguna aplicación / manifestación física de estas funciones? [por ejemplo, un objeto con una velocidad que siempre es mayor que su posición / aceleración es siempre mayor que su velocidad]

No sé si hay una aplicación de esta propiedad interesante, pero estoy seguro de que no se puede comparar la velocidad con la posición porque no son cantidades homogéneas.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Suponiendo $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Entonces puede convertir cualquier función $ g $ donde $ g '(x)> 1 $ en este tipo de función tomando el exponencial de la misma:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ implica \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ implica \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Usted supone $ f (x)> 0 $ al principio
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Entonces podría usar $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ como punto de partida para cualquier $ f $ dado. De esa manera uno siempre tiene $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
La respuesta de Ixion ofrece la generalización completa al permitir que $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ sea cualquier función que sea positiva en todas partes.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders No, él asume la continuidad de $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Estoy bastante seguro de que esa condición no es realmente necesaria.

Peter 07/28/2017.

Un ejemplo simple es $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Un problema más interesante es encontrar una función $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, cuya imagen es $ \ mathbb {R} $ y satisface $ f '(x)> f (x) $ para todos $ x \ in \ mathbb {R} $. Una de esas funciones es

$$ \ sinh (x), $$

porque

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ para todos $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Tome $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Luego, para $ \ alpha> 1 $ tenemos $ f '(x)> f (x) $ y para $ \ alpha <1 $ tenemos $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

¿Qué tal si lo miras como una ecuación diferencial? Decir

$ y '= y + 1 $

que tiene solución $ y = Ce ^ x -1 $

O $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

que tiene solución $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

O $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

que tiene la solución $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
La respuesta de Ixion generaliza esto a $ y '(x) = y (x) + f (x) $ para cualquier $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - ¿debería eliminar mi respuesta?
Robin Saunders 07/30/2017
No sé mucho acerca de la etiqueta de intercambio de pila, pero supongo que dado que usted publicó su respuesta primero y contiene ejemplos específicos que no figuran en la otra respuesta, debería estar bien dejarla.

Eric Towers 07/30/2017.

Un ejemplo very simple es $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevante para su edición: esto no es exponencial en absoluto.

Otros ejemplos que no son inmediatamente exponenciales:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ está en todas partes negativo y en todas partes aumenta de forma estrictamente monótona, por lo que está en todas partes menos que su derivada.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ también es negativo en todas partes y en todas partes aumenta de forma estrictamente monótona. (Estos son muy similares, ya que son copias desplazadas de los CDF de las distribuciones (estándar / normalizadas) de Cauchy y Gaussian).
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ es la rama inferior de una hipérbola que tiene el eje $ x $ y la línea $ y = x $ como asíntotas. En todas partes es negativo y en todas partes aumenta de forma estrictamente monótona.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Ver, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Más generalmente, cualquier función negativa con derivado positivo ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Otro ejemplo simple sería $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

La desigualdad $$ f '(x)> f (x) $$ es equivalente a $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Entonces, la solución general es tomar cualquier función diferenciable $ g (x) $ con $ g '(x)> 0 $ y poner $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Tenga en cuenta que no se asume nada sobre $ f $ excepto la diferenciabilidad, que es necesario para hacer la pregunta en primer lugar.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Para cualquier función diferencial $ f $ para la cual tanto $ f (x) $ como $ f '(x) $ están limitados a rangos finitos, $ f' (x) - f (x) $ también está limitado a un rango finito, entonces hay un $ c $ para el cual $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Por lo tanto, se puede formar una función $ g (x) = f (x) - c $ para la cual $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ o $ g' (x )> g (x) \ \ forall \ x $.

Por ejemplo, esto se aplica a muchas funciones periódicas diferenciales.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
La última afirmación es incorrecta, ya que no todas las funciones periódicas diferenciables tienen derivada acotada.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Tienes razón. Estaba considerando funciones periódicas que eran diferenciables en cada punto en $ \ mathbb {R} $, pero me doy cuenta de que una función solo tiene que ser diferenciable en todos los puntos de su dominio para que se pueda considerar diferenciable. He actualizado mi respuesta.
Adayah 07/30/2017
Quiero decir, una función $ f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R} $ puede ser periódica y diferenciable en cada punto $ a \ in \ mathbb {R} $ y aún tener derivados no acotados.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah ¿Tiene algún ejemplo de tal función?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Quiero decir, si una función $ f $ es diferenciable en todas partes, su derivada $ f '$ debe existir en todas partes, y $ f' $ debe ser continua (porque si contiene alguna discontinuidad, $ f '$ no puede existir en ese punto ) Eso hace que sea imposible que $ f '$ sea ilimitado, ¿verdad?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike una respuesta a su pregunta adicional "¿Hay ejemplos físicos de esto?" está habilitado por dromastyx.

Su ejemplo muestra funciones hiperbólicas que describen con precisión el fenómeno físico de 'solitones'.

Los solitones son olas solitarias como bengalas solares, tsunamis, etc. Un ejemplo de cómo encontrar esas ondas ocultas en ecuaciones conocidas es:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

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