¿La mayoría de los matemáticos conocen la mayoría de los temas en matemáticas?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
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¿Cuántos temas fuera de su especialización es familiar para un matemático promedio?

Por ejemplo, ¿sabe un teórico de grupo promedio lo suficiente de las ecuaciones diferenciales parciales para pasar una prueba en un curso PDE de nivel de posgrado?

Además, ¿cuáles son los temas "imprescindibles" para cualquier aspirante a matemático? ¿Por qué?

Como estudiante de posgrado, ¿debería centrarme más en la amplitud (elegir una amplia gama de clases que están relativamente relacionadas entre pares, por ejemplo, teoría de grupos y EDP) o profundidad (por ejemplo, teoría de medidas y análisis funcional)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Para que lo sepas, la teoría de grupos is usa en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales, principalmente para explotar cualquier simetría que un PDE pueda tener.
53 Cauchy 07/27/2017
No, un teórico promedio de grupo obtendrá $ 0 $ grasos en un curso PDE de nivel graduado ( might haber estudiado PDE en algún momento, pero definitivamente lo olvidó todo).
23 Cauchy 07/27/2017
En general, sin embargo, la mayoría de los matemáticos tienen un poco de exposición a una amplia variedad de temas, de modo que si necesitan cierta herramienta de alguna otra rama, pueden (relativamente) repasar rápidamente el material y leer la literatura relevante.
1 owjburnham 07/27/2017
Sospecho que esto puede ser específico de un país, y que vale la pena etiquetar? Yo (en el Reino Unido) nunca tuve que tomar una sola prueba como estudiante de posgrado (gracias a Dios).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, he oído decir eso de Poincaré con más frecuencia.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Su pregunta es filosófica en lugar de matemática.

Un colega mío me contó la siguiente metáfora / ilustración una vez cuando era estudiante de bachillerato y él hizo su doctorado. Y dado que ahora han pasado algunos años, me puedo relacionar.

Es difícil escribirlo. Piense en dibujar un gran círculo en el aire, acercarse y luego dibujar un gran círculo nuevamente.

Esto es todo conocimiento:

[--------------------------------------------] 

Todo el conocimiento contiene mucho, y las matemáticas son solo una pequeña parte, marcadas con la cruz:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

La investigación matemática se divide en muchos temas. Álgebra, teoría de números y muchos otros, pero también matemática numérica. Esa es esta pequeña parte aquí:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

La matemática numérica también se divide en varios temas, como los numéricos ODE, optimización, etc. Y uno de ellos es FEM-Theory para PDE.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

Y esa es la parte del conocimiento, donde me siento cómodo al decir "sé un poco más que la mayoría de las otras personas en el mundo".
Ahora, después de algunos años, extendería esa ilustración un paso más: mi conocimiento en esa parte se parece más bien a

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Solo sé "un poco" al respecto, la mayor parte no lo sé, y la mayoría de lo que había aprendido ya está olvidado.

(En realidad, FEM-Theory es todavía un gran tema, que contiene, por ejemplo, diferentes tipos de PDEs [elíptica, parabólica, hiperbólica, otra]. Por lo que podría hacer el "zoom" varias veces más).


Otra pequeña sabiduría es: alguien que terminó la escuela cree que sabe todo. Una vez que obtuvo su maestría, sabe que no sabe nada. Y después del doctorado, sabe que todos a su alrededor no saben nada.


Preguntar acerca de su enfoque: IMO utiliza los primeros años para explorar temas matemáticos para descubrir lo que le gusta. Luego profundiza más, si encuentras lo que te gusta.

¿Hay temas "debe saber"? Hay conceptos básicos que aprendes en los primeros términos. Sin ellos, es difícil "hablar" y "hacer" matemáticas. Aprenderás las herramientas que necesitas para cavar más profundo. Después de eso, siéntete libre de disfrutar las matemáticas :)
Si su enfoque de investigación es, por ejemplo, en numéricos PDE (como lo es el mío), pero también le gustan las matemáticas puras - adelante y tome una conferencia. ¿Te ayudará? Tal vez tal vez no. Pero seguro se divirtió adquiriendo conocimiento, y eso es lo que cuenta.

No pienses demasiado sobre qué conferencias asistir. Todo saldrá bien. Creo que la mayoría de los matemáticos estarán de acuerdo con esa afirmación.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
Esto es similar a The Illustrated Guide to a Ph.D. .
10 Mars 07/30/2017
Para el registro, soy un filósofo profesional (Ph.D. en filosofía, trabajo como profesor, todo eso). Soo ... en mi opinión profesional, esta pregunta no es filosófica. Es empírico OP pide generalizaciones empíricas sobre matemáticos. La sugerencia de P. Siehr es que la pregunta se formula de manera imprecisa o se basa en suposiciones incorrectas. Eso no hace que la pregunta o sus posibles respuestas sean filosóficas. (pww). No estoy de acuerdo con P. Siehr en que la pregunta tal como está formulada no puede ser respondida, y mis comentarios no son un apoyo para los comentarios de amWhy.
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Debe notarse que "filosófico" en un contexto matemático no se refiere en general al campo de la filosofía, sino a casi cualquier pensamiento matemáticamente relevante o inspirado fuera de las matemáticas rigurosas y formales. (¡Espero que los matemáticos que usan la palabra lo reconozcan!) Estoy de acuerdo con que la pregunta no es filosófica en el sentido real de la palabra, pero sí creo que es filosófica en el sentido empleado por muchos matemáticos.
Mars 08/09/2017
Ah, eso es interesante @JoonasIlmavirta. Gracias.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

La respuesta a tu pregunta es fácil:
No, un matemático promedio especializado en, digamos, geometría algebraica no podría pasar without preparation un examen de nivel de posgrado sobre ecuaciones en derivadas parciales.
Espera, es peor que eso: ni siquiera podía aprobar un examen de nivel de pregrado en ecuaciones en derivadas parciales.
Espera, es aún peor: no pudo aprobar un examen in algebraic geometry en un tema especializado diferente al suyo. Por ejemplo, un examen elemental sobre la clasificación de singularidades si está especializado en esquemas de Hilbert.
Por el contrario, me sorprendería mucho que un analista notorio que recientemente obtuvo una medalla de Fields pudiera resolver los ejercicios en, por ejemplo, el Capítulo 5 de las Curvas algebraicas de Fulton, la introducción estándar a la geometría algebraica de pregrado.

Some remarks
1) Lo que escribí es fácil de confirmar en privado pero imposible de probar en público:
No puedo escribir muy bien que en una conversación reciente XXX, un respetable probabilista, haya demostrado en abundancia que no tenía idea de cuál es el grupo fundamental del círculo.

2) Si el autor YYY escribió un artículo sobre ecuaciones diferenciales parciales usando técnicas del grupo susceptible, esto no implica que otros especialistas en su campo conozcan alguna teoría de grupo.
Ni siquiera prueba que YYY supiera mucho sobre la teoría de grupos: pudo haberse dado cuenta de que la teoría de grupos estaba involucrada en su investigación y entrevistó a un teórico de grupos que le habría contado sobre los grupos susceptibles.

3) Por el lado positivo, algunos matemáticos muy excepcionales parecen saber mucho sobre casi todas las asignaturas en matemáticas: vienen a la mente Atiyah, Deligne, Serre, Tao.
Mi triste conjetura es que su número es una función que tiende a cero a medida que pasa el tiempo.
Y aunque no pude aprobar un examen de análisis, sé lo que esto significa para una función $ \ mathbb N $ -valuada ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Tenemos algunas personas en mi departamento que, por lo menos, pueden hacer comentarios sobre una gran variedad de subcampos dentro de una amplia disciplina. Me vienen a la mente varios geómetras que tienen algo inteligente que decir sobre muchas áreas de la geometría. Tal vez no sea posible saber todo. Pero afortunadamente todavía es posible saber muchas cosas sobre muchas cosas. ¡Creo que eso es probablemente lo suficientemente bueno, ya que ahora hay tantas cosas más que saber!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, cuando dices "Por el contrario, me sorprendería mucho si un analista notorio que recientemente obtuvo una medalla Fields pudiera resolver los ejercicios en, digamos, el Capítulo 5 de las Curvas Algebraicas de Fulton, la introducción estándar a la geometría algebraica de pregrado". ¿Cuánto tiempo se les permite pensar en cada ejercicio? Si les damos suficiente tiempo para leer el libro y practicar, seguro que lo resolverían. ¿No pueden leer el libro y deben resolverlo en el momento, en cuánto tiempo?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Estimado @Santropedro, por supuesto, si a ese brillante analista se le dio una semana o dos, podría leer el libro y luego resolver sus ejercicios. El punto que quería hacer es que probablemente no podría resolverlos con lo que sabe ahora mismo.
2 Michael Kay 07/28/2017
Hace algunos años, pensé que sería divertido tratar de abordar un documento de matemáticas de GCSE (para 16 años) que mi hija trajo a casa. A esa edad habría navegado a través de él sin dificultad. Descubrí que no podía responder una sola pregunta, aunque mi trabajo en ingeniería de software implica una exposición regular a un montón de matemáticas.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: sí, ese es exactamente el punto. El OP preguntó sobre temas con los que un matemático was familiarizado. La pregunta si él could familiarizarse con un tema así y cuánto tomaría es completamente diferente, y bastante correlacionado con la noción de ser "brillante".

MCS 07/29/2017.

Mis dos centavos: a menos que tengas un cerebro mágico o seas una especie de genio que hace época, probablemente descubrirás que solo puedes tener en mente tantas matemáticas en un momento dado. Por lo tanto, por razones prácticas, tanto con respecto a la redacción de una disertación, como con respecto a hacer una carrera por sí mismo, probablemente debería apegarse a una o dos áreas estrechamente relacionadas, de modo que pueda tener suficiente experiencia para ser útil a un institución de investigación o lo que sea que desee hacer con su futuro.

Habiendo dicho eso, he descubierto que la uncorrelated coraje y la habilidad en matemáticas a menudo uncorrelated están uncorrelated entre sí. Por el contrario, la habilidad a menudo depende más de la cantidad de matemáticas que uno haya seen . Con ese fin, diría que, aunque definitivamente debes elegir un área temática o dos para que sea tuya, debes esforzarte por mantener la mente abierta y mantener un interés activo en la mayor variedad posible de disciplinas matemáticas.

A menudo me parece que la lectura (aunque sea casual) sobre las formas de las matemáticas no relacionadas con mis áreas de investigación proporciona una gran cantidad de nuevas ideas y puntos de vista. Cuantos más patrones y fenómenos conozca, mayores serán las posibilidades de que note que algo de interés se entromete en su trabajo, y eso podría darle una intuición que de otro modo no habría tenido. Por lo menos, le ayudará a saber qué temas o fuentes (o colaboradores ...) buscará cuando encuentre algo que esté fuera de su área de mayor experiencia.

Editar: Una cosa más. Linear algebra. Para parafrasear a Benedict Gross, no existe el conocimiento de demasiado álgebra lineal. Está en everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

Por supuesto, hay una gran ambigüedad en la pregunta. Pero, con cualquier interpretación, la respuesta sería en general, "no, la mayoría de los practicantes de alguna parte de X no recuerda todas las X ... porque no las need ".

Por lo tanto, aunque solo sea porque la mayoría de los recuerdos de las personas incluso muy inteligentes se desvanecen con el tiempo, en la mente de los matemáticos habrá un pequeño residuo de las cosas básicas estándar que están trabajando en un tipo particular de cosas durante algunos años. Además de enseñar cálculo, hay poca need de recordar mucho más. Sí, desde el punto de vista de la erudición, esto es potencialmente angustioso, pero, de hecho, en casi todas las situaciones matemáticas profesionales, hay poca motivación / recompensa para una beca genuina. De alguna manera, no encaja en las fórmulas de aumento salarial, tenencia u otras muchas cosas. (No es que a mí mismo me importe si trato de entender las cosas "por dinero", o no ...)

Es cierto que la mayoría de los programas de postgrado en matemáticas en EE. UU. Intentan engendrar una mínima competencia / apreciación de una gran parte de las matemáticas básicas, pero después de pasar a los calificadores parece que la gran mayoría de la gente no encuentra mucho interés en buscar una amplia beca, ya sea en principio o para posibles beneficios directos.

Además, no estoy de acuerdo con la imagen simplista (lo que creo) de que la "especialización" es como "acercar con un microscopio", y así sucesivamente. Claro, esta es una visión del mundo defendible, y una visión del mundo subjetiva, y, por cierto, con las acciones de uno puede hacer que sea una descripción accurate ... pero creo que no es exacto de la realidad. Específicamente, no veo que las ideas genuinas estén tan "localizadas" como lo sería un "microscopio de zoom físico". Es decir, la idea de que "matemática" puede representarse de una manera razonable como algo físico, que implica todo lo local que eso implica, creo que es muy impreciso. Nuevamente, sí, podemos make que sea preciso, por lo menos por ignorancia o ignorancia. Pero...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

La cuestión de cuántos temas de matemáticas conoce un matemático promedio depende en gran medida de dos definiciones:

  1. Tema
  2. Saber

Por supuesto, también depende de otras definiciones (como el matemático), pero en menor medida.

Enfoque cuantitativo para responder a esta pregunta

Vamos a definir los niveles de temas en el siguiente, basado libremente en wikipedia :

  1. Matemáticas (1 tema en este nivel)
  2. Pura matemáticas / Matemáticas Aplicadas (2 temas en este nivel)
  3. Algebra, ..., Investigación de operaciones (13 temas en este nivel)
  4. Álgebra abstracta, álgebra de Boole, ... (??? temas en este nivel)

Ahora, con base en la experiencia personal y una imagen del matemático promedio, puedo responder cuánto conocería un matemático de este tipo, para cada nivel:

  1. Puede aprobar un curso de posgrado sobre este tema
  2. Puede aprobar un curso de posgrado sobre estos temas
  3. Puede aprobar un curso de posgrado sobre algunos de estos temas, puede aprobar un curso introductorio sobre la mayoría de estos temas
  4. Puede aprobar un curso de postgrado en algunos de estos temas (quizás 5 ~ 15%)

Tenga en cuenta que si se mueve más allá del nivel 4, se vuelve tan específico que es posible que no encuentre cursos completos de posgrado sobre dicho tema. De ahí mi conclusión:

Basado en la experiencia personal, espero que un matemático promedio tenga un conocimiento decente de entre 5% y 15% de los temas en el nivel de postgrado


Linas 07/29/2017.

Pasé varios años en un proyecto para leer los primeros 1-2 capítulos de al menos un libro de matemáticas en cada estante de la biblioteca de la universidad. Fue un intento de obtener una encuesta imparcial de las matemáticas. Fue bueno para mí, pero fue un lujo: la marcha forzada a través de un programa de doctorado y al mundo académico ofrece poco tiempo para tal comportamiento. Sin embargo, es importante: todos los mejores y más famosos matemáticos están empleando claramente herramientas interdisciplinarias en su trabajo. Y, para mí, personalmente, fue una especie de subir de nivel: de repente, todo es más fácil.

Especializarse en un campo es como levantar pesas con solo tu brazo derecho, ignorando el núcleo, la espalda y las piernas: te deja sorprendentemente débil e incapaz. Cuando tienes que dominar muchos estilos diferentes de abstracción, obtienes mejor abstracción, en general, incluso en tu especialidad elegida. Esto, para mí, fue la gran sorpresa inesperada.

Para la pregunta más cuantitativa que se pregunta aquí, ¿podría "pasar una prueba en un curso de posgrado de XYZ"? para un curso de primer año, 1er semestre, tal vez, probablemente. Sort-of. Los exámenes tienden a plantear preguntas usando el fraseo y la notación que están estrechamente alineados con el libro de texto de la clase, y esta notación puede variar mucho de un libro de texto a otro. Entonces, para eso, se necesitaría preparación. El punto es que tal preparación se vuelve más fácil.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Debería haber muchos libros de matemáticas en una biblioteca universitaria. Nunca podría aprender todos los títulos y ciertamente no todas las definiciones en todos esos libros. Y es simplemente imposible recordar ese contexto. Pero un matemático profesional probablemente pueda entender el contexto de cualquiera de los libros si es necesario.

R K Sinha 08/07/2017.

Hay una gran escasez de libros de texto a nivel de posgrado en matemáticas escritos con el objetivo de enseñar el "verdadero tema" lo más rápido posible. "Smooth Manifolds by Sinha" es uno de esos libros. Si se encuentran disponibles muchos libros de ese tipo, entonces la erudición en matemáticas no sería una risa.


John Bentin 07/27/2017.

Ciertamente no. Por ejemplo, el gran matemático Grothendieck no estaba lo suficientemente familiarizado con la aritmética como para reconocer el entero $ 57 $ como no primo. Se puede acceder a las numerosas cuentas de esta historia mediante una búsqueda en Internet de los términos clave; digamos, busca grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
¡Este es un ejemplo ridículo! Grothendieck estaba pensando en primos en general. A él simplemente no le importa si $ 57 $ es o no principal.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
La historia no está inventada: Grothendieck cometió ese error tonto, en un intercambio después de una charla, después de que un miembro del público le pidiera que fuera más concreto. Por supuesto, esto no cambia nada al hecho de que Grothendieck fue uno de los aritméticos más profundos del siglo XX. Y de hecho, 57 looks un poco primordial por alguna razón psicológica :-). Por el contrario, muchos matemáticos piensan que estoy tirando de su pierna cuando les digo que $ 4999 $ is primordial.
1 Dair 07/27/2017
Creo que Terrance Tao también dijo que 27 era excelente en el informe Colbert, o algo así: p (No es que no esté familiarizado con los números primos, solo una anécdota divertida). Sin embargo, la mejor pregunta es ¿cómo sé esto? Y, ¿qué estoy haciendo con mi vida?
1 quid 07/27/2017
"Pero Grothendieck debe haber sabido que 57 no es primo, ¿verdad? Absolutamente no, dijo David Mumford de la Universidad Brown. "No piensa concretamente". "Porque ciertamente lo sabía en el sentido de que podría haber respondido a la pregunta" ¿Es 57 un número primo? " correctamente, y esto se vuelve borroso allí.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Si respondemos a la pregunta original por el enfoque ligeramente insípido de señalar vacíos inevitables incluso en el conocimiento de los matemáticos más grandes, un mejor ejemplo que un ridículo cálculo aritmético habría sido cuando Grothendieck le preguntó a un colega sobre una cierta integral definida que había encontrado, y se sorprendió al saber que usualmente se llamaba distribución normal.

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